Matematica e Filosofia, l’intesa che non ci si aspetta

  a cura di Ilaria Passarella*

*Dott.ssa in Filosofia del mondo contemporaneo

Secoli di stagnanti luoghi comuni e ingenerosi malintesi sulla filosofia hanno contribuito a dipingerla come una torre d’avorio distante anni luce dalle scienze, sia naturali che a priori, alle quali essa sembrava avere, così, molto poco da offrire.

Scopo di questo articolo è mostrare, seguendo l’esempio peculiare della filosofia della matematica, come il ragionamento filosofico costituisca, in realtà, un metodo essenziale per gli scopi fondazionali delle discipline scientifiche, ossia per la chiarificazione ontologico-metafisica dei concetti che solitamente gli scienziati puri (quali i matematici o i teorici degli insiemi), danno già per assunti nel contesto pragmatico delle loro ricerche.

Sin dalle contemplazioni dei “fisici della natura” – i filosofi greci che si interrogavano sulle cause primordiali dell’universo – la filosofia si è offerta all’uomo come riflessione critica sul mondo in ogni sua parte. Un privilegio metodologico, questo, che l’ha insignita di una natura peculiare: in linea di massima, infatti, non è sbagliato dire che si possa “filosofare” praticamente di tutto. Lungi dall’essere una apologia della tuttologia, questa affermazione indica semplicemente che si può ragionare – a patto che lo si faccia con metodo – su natura, esistenza e qualità di qualunque cosa.¹ Tra le molte, esiste anche la filosofia della scienza, o meglio le filosofie delle scienze, fra cui, quella che si occupa della matematica gode di uno statuto speciale e meritevole di attenzione.²

A scuola ci vengono insegnate l’aritmetica, l’algebra, l’analisi e, in generale, la manipolazione di entità matematiche per mezzo di operazioni che accogliamo dalle competenze dei nostri insegnanti senza dubitarne, ma, in effetti, sembra avere senso chiedere ragione di questa postulazione (che non è propria, ad esempio, di una scienza induttiva come la fisica). Di questo si occupa, allora, la filosofia della matematica, espressione ombrello sotto cui ritroviamo le speculazioni relative a questioni di natura (i) ontologica, (ii) metafisica ed (iii) epistemologica riguardanti i numeri o, più in generale, gli “oggetti matematici”.³ Saranno, allora, filosofi della matematica tutti i teorici che si chiedono, rispettivamente:

1. se gli oggetti matematici esistano (ontologia);

2. quale sia la loro natura (metafisica);

3. se e come possiamo conoscerli (epistemologia).

Da un punto di vista prettamente storico, qualche reminiscenza scolastica potrà, fino a qui, avervi suggerito che la filosofia era sempre stata, sin dalla Grecia classica, una culla sicura per la matematica, in un rapporto dagli sfumati confini di autonomia.
È noto, ad esempio, che Pitagora aveva fatto del numero il principio fondante dell’universo, mentre Platone aveva messo a punto una filosofia delle idee – per la quale tutto ciò che esiste ha un corrispettivo più reale in un mondo astratto – così ammaliante e pervasiva da diventare, per millenni, una prospettiva mainstream anche in filosofia della matematica:⁴ se riteniamo che i numeri esistano – rispondendo positivamente a (i) – e, relativamente a (ii), assumiamo che esistono come oggetti astratti in una realtà indipendente, allora siamo platonisti, altrimenti siamo nominalisti. Per questi ultimi, infatti, la natura delle entità matematiche può essere sviscerata interpretando il suo linguaggio attraverso parafrasi che non si impegnino all’esistenza di simili oggetti.
Ad esempio, un enunciato platonico del tipo:

“Esiste un numero primo maggiore di 10”

può essere riformulato con la parafrasi nominalista

“È possibile identificare un valore intero, maggiore di 10, che non ha divisori positivi altri che 1 e se stesso”.

Al di là delle specifiche, questo dibattito ha implicazioni profonde per come i matematici interpretano la significatività e l’applicabilità dei loro risultati, influenzando in particolar modo la direzione della loro ricerca e l’elaborazione di nuove teorie.

Un esempio paradigmatico è quello della teoria degli insiemi (ZFC), forse il più

potente sistema formale in grado di esprimere la matematica. Intorno al XIX secolo, dopo una lunga discussione sulle paradossalità dell’infinito e del Continuo,⁵ è stata offerta a questi concetti una prima sistematizzazione “naïve” a opera del matematico tedesco Georg Cantor, e poi una assiomatica con Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel (da qui l’acronimo ZFC). Per farlo, però, questi matematici non poterono prescindere da speculazioni di tipo ontologico. Convinto platonista, ad esempio, Cantor (come il collega Kurt Gödel), riteneva che l'infinito esistesse in un mondo indipendente e bisognasse solo scoprirlo per definirne le proprietà. Sulla base delle sue concezioni filosofiche, egli dimostrò, così, l’esistenza di almeno due infiniti, quello dei numeri naturali ℕ e quello del Continuo, cioè l’insieme dei numeri reali ℝ, che sono, per così dire, molti di più dei primi. Su queste basi, Cantor immaginò una gerarchia di infiniti “sempre più alti”, ma, per evitare la contraddizione,⁶ il matematico tedesco, che aveva ben presenti i concetti di infinito dei filosofi Agostino, Cartesio, Spinoza e Leibniz, ricorse a una base metafisica incentrata su Dio. In questo modo, l’infinito esisteva in maniera attuale in Dio, che lo fondava, lo giustificava e lo rendeva matematicamente determinabile: la filosofia e la teologia contaminavano, così, un luogo di rigore sacro come la scienza matematica.

Ad oggi, anche la teoria degli insiemi assiomatica rimane comunque filosoficamente

problematica poiché viziata dall’indecidibilità di molti teoremi.⁷ Se alcuni sono soddisfatti delle dimostrazioni di indecidibilità perché ritengono che non creino problemi a livello matematico, altri ne rimangono perplessi e sono propensi a credere che ZFC sia una teoria troppo debole e necessiti di una estensione dei suoi assiomi per decidere se questi enunciati siano veri o falsi. Questo programma di estensione nasce, pertanto, da una idea filosofica più che matematica e ha condotto, di fatto, a una serie di studi tecnici che hanno contribuito ad ampliare le nostre conoscenze sulle proprietà delle alte gerarchie insiemistiche, che si è scoperto poi riflettere quelle finite. La teoria degli insiemi è solo uno dei tanti esempi che mostrano come la filosofia non solo abbia arricchito il tessuto concettuale della matematica, ma abbia anche ampliato il campo di ciò che è possibile indagare e comprendere attraverso di essa.

Il suo contributo, alla luce di quanto mostrato e di moltissimo altro, è essenziale

all’evoluzione della matematica come strumento vitale per la comprensione del mondo. Man mano che ci avventuriamo in nuove ere di scoperta, il dialogo tra queste discipline non è solo desiderabile, ma necessario: la sfida più grande sta, però, nel combattere dall’interno della comunità matematica, come hanno fatto Cantor e Gödel, gli stigmi di cui la filosofia è vittima, apprezzandone la capacità di formare pensatori critici in grado di affrontare le questioni epistemologiche e tecniche degli anni a venire.