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Come la Fisica aiuta la tecnologia di Claudio Meringolo

 

Abstract: La teoria della Relatività sviluppata tra il 1905 e il 1915 da Albert Einstein, non è solo una descrizione matematica elegante e completa della gravitazione. Possiamo infatti misurarne gli effetti nelle piccole cose di tutti i giorni, come ad esempio quando usiamo un sistema di navigazione che fa uso dei satelliti GPS.

Il sistema GPS (Global Positioning System) è composto da più satelliti che orbitano a circa 20 mila chilometri di altezza attorno alla Terra. Ognuno di questi satelliti ha degli orologi atomici ad altissima precisione con i quali, misurando il tempo impiegato da un segnale elettromagnetico a percorrere la distanza satellite-ricevitore e facendo la triangolazione con altri satelliti, riescono a ricavare la posizione esatta del ricevitore sulla superficie della Terra. Questi orologi essendo molto precisi accumulano un errore molto piccolo, circa 86 miliardesimi di secondo al giorno: con un errore del genere, la precisione del GPS, potrebbe essere dell’ordine di qualche decina di centimetri sulla superficie della Terra. Questo se non considerassimo gli effetti relativistici che le teorie della Relatività Ristretta e quella Generale di Einstein apportano al sistema GPS, inducendo quindi degli errori di cui bisogna assolutamente tenere conto se si vuole ottenere un sistema di posizionamento il più accurato possibile.

Partendo dalla teoria della Gravitazione di Newton per arrivare alla teoria della Relatività Generale di Einstein, vediamo cosa ci dice la Fisica a riguardo. 

Dalla pubblicazione dei "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" nel 1687 fino agli inizi del ventesimo secolo, la teoria della Gravitazione di Newton è stata il pilastro portante, il modello che descriveva l'universo da un punto di vista della forza gravitazionale, che insieme alle altre tre forze fondamentali, governano le leggi della Fisica.

Nei primi anni del ventesimo secolo c'era un giovane sconosciuto al mondo scientifico dell'epoca, che lavorava presso l'ufficio brevetti di Berna ed era affascinato dalla forza di gravità. Il suo nome era Albert Einstein. Durante le pause di lavoro si era creato il seguente esperimento mentale: immaginiamo di essere su una navicella spaziale nello spazio vuoto, e che questa si muova di moto uniformemente accelerato. In questo caso sulla navicella – e quindi su di noi - agisce una forza proporzionale all'accelerazione ed alla nostra massa inerziale. Immaginiamo adesso che la stessa navicella faccia ritorno sulla Terra (e quindi in un campo gravitazionale) e che stia ferma sulla superficie terrestre: adesso su di noi agisce una forza, quella di gravità, che è proporzionale all'accelerazione di gravità ed alla nostra massa gravitazionale.

I fisici chiamano massa inerziale e massa gravitazionale due grandezze che sono concettualmente differenti: la prima esprime quanto un corpo massivo si oppone ad una forza affinché cambi il suo stato di moto, mentre la seconda è proporzionale alla forza peso, ossia alla forza che risente un corpo in un campo gravitazionale. Tuttavia se noi siamo dentro la navicella spaziale senza la possibilità di poter osservare fuori, ad esempio in una navicella senza finestre, è praticamente impossibile stabilire se ci stiamo muovendo di moto uniformemente accelerato nel vuoto sotto l'azione di una forza, oppure se siamo fermi sulla Terra sotto l'azione della forza di gravità.

Il principio che ci fa uguagliare la massa inerziale e la massa gravitazionale si chiama “principio di equivalenza”, e ad oggi gli esperimenti dimostrano che massa inerziale e massa gravitazionale sono numericamente uguali a meno di errori dell'ordine di 10^{-14}, dando credito alla correttezza di questo principio che è ormai accettato da tutti nella comunità scientifica.

Per quanto riguarda il giovane Einstein, la forza di gravità fu il punto di partenza per il suo lavoro più importante, ossia la teoria della Relatività Generale, che pubblicò nel 1915. Per sviluppare la teoria della Relatività Generale, Einstein si servì dell'algebra tensoriale più avanzata, e due matematici italiani, Levi Civita e Ricci Curbastro, gli costruirono gli strumenti adatti per formalizzare la sua teoria. In questa nuova teoria della Gravitazione non compare più la gravità come nella teoria di Newton, e spazio e tempo sono indissolubilmente intrecciati a formare un tessuto spazio-temporale a 4 dimensioni.

Quindi, mentre nella teoria di Newton una massa generava un campo gravitazionale (e quindi una forza gravitazionale), in questa nuova teoria una massa ha l'effetto di curvare lo spazio-tempo modificando, ad esempio, il tensore di curvatura ed il tensore metrico. Questi due tensori descrivono non solo come una massa modifica lo spazio-tempo, ma anche come vengono modificate le geodetiche, ossia le traiettorie che seguono i corpi in movimento. Così, mentre per Newton la Terra ruota attorno al Sole perché sotto l'azione della forza di gravità, per Einstein la Terra segue semplicemente la sua geodetica che però non è rettilinea bensì curvata dalla presenza del Sole.

Tutto il contenuto della Relatività Generale si può esprimere in maniera breve ed elegante con le equazioni di campo di Einstein, in notazione tensoriale. Ma dato che il tempo non è indipendente dallo spazio, una massa che curva lo spazio ne modifica di conseguenza anche il tempo, il quale scorrerà (per un osservatore esterno) più lentamente nei pressi di uno spazio curvo rispetto ad uno spazio piatto e in assenza di massa. Tali variazioni sono naturalmente impercettibili, ma possono essere verificate sperimentalmente con misurazioni accuratissime. 

Ma vediamo cosa comporta tutto questo per i satelliti GPS.

Avendo la Terra un suo campo gravitazionale, per la teoria della Relatività ritroviamo degli effetti relativistici sugli orologi posti sui satelliti GPS in orbita, che non possiamo trascurare. Gli orologi a terra, essendo più vicini alla superficie terrestre, risentono di una gravità molto più forte di quella che sentono i satelliti in orbita. Questi ultimi, quindi, rispetto ad un orologio terrestre misurano uno scorrere del tempo diverso. Questo effetto è impercettibile e irrilevante nella vita quotidiana, ma in alcuni contesti, come appunto quello dei GPS, può diventare di fondamentale importanza. Infatti gli orologi in orbita sui satelliti GPS hanno un anticipo di circa 45 milionesimi di secondo al giorno rispetto agli orologi sulla Terra. Sembra una cifra molto piccola, ma se non tenuta in considerazione può portare ad errori molto grandi, dato che i segnali viaggiano alla velocità della luce e in tale intervallo di tempo percorrono più di 10 km.

 

Alla base della teoria di Einstein c’è il postulato che la velocità della luce sia costante in qualsiasi sistema di riferimento, indipendentemente dal moto della sorgente e del ricevitore. Come conseguenza di ciò, due osservatori che si muovono di moto relativo uno rispetto all’altro misurano differenti intervalli di lunghezza e di tempo: lo spazio si contrae mentre il tempo si dilata. I satelliti in orbita sono in movimento rispetto al ricevitore GPS sulla Terra e quindi i loro orologi misurano intervalli temporali differenti, in accordo con la teoria della Relatività Ristretta. I fisici per calcolare l’effetto della dilatazione temporale misurata da due orologi posti in due sistemi di riferimento diversi, usano il fattore di Lorentz. Se tale fattore è uguale a 1 significa che il tempo scorre allo stesso modo per i due orologi, ma questo vale solo se i due sistemi di riferimento hanno velocità relativa molto più piccola rispetto a quella della luce. Dato che il satellite in orbita ruota rispetto alla Terra con una velocità media di 3,8 km/s, la dilatazione temporale non è trascurabile. Essa introduce un errore rallentando l’orologio del satellite di circa 7 milionesimi di secondo al giorno rispetto ad uno fermo sulla Terra.

In pratica, mentre per effetto della Relatività Generale gli orologi sui satelliti GPS vengono accelerati di circa 45 microsecondi al giorno, come conseguenza della Relatività Ristretta invece lo scorrere del tempo sui satelliti viene rallentato di circa 7 microsecondi al giorno. Al netto ogni orologio sui satelliti viene accelerato rispetto ad uno fermo sulla Terra di circa 38 milionesimi di secondo ogni giorno, introducendo un errore nella posizione di circa 11,5 km! È qua che ci viene in aiuto la fisica. Per rimediare a questi effetti relativistici, gli orologi dei satelliti vengono corretti in maniera continua e automatica, e questo permette al sistema GPS di essere sufficientemente accurato e di tracciare quasi alla perfezione la nostra posizione sulla Terra. Tutto si svolge nel pieno rispetto della teoria di Einstein, altrimenti non arriveremmo a pochi metri dalla meta che abbiamo chiesto al navigatore ma a chilometri di distanza.

Così la prossima volta che il vostro navigatore GPS della vostra auto vi porterà a destinazione correttamente, non dimenticate di ringraziare in parte anche il buon Einstein se avete raggiunto senza problemi la vostra meta.

 

                          FOTO: le equazioni di campo di Einstein scritte su una locomotiva abbandonata nel deserto della Bolivia.

Il primo membro dell'equazione è composto dal tensore di curvatura di Ricci e dal tensore metrico, che descrivono la geometria dello spazio-tempo punto per punto;

Il secondo membro contiene invece il tensore energia-impulso, che tiene conto della presenza di massa. Einstein con questa formula ci dice come massa e curvatura dello spazio-tempo sono legate.)

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